Bew.:ggT(a,b)=1^a|c^b|c->ab|c < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 30.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Seien a,b [mm] \in \IZ, [/mm] dann gilt:
Wenn ggT(a,b)=1 und a|c [mm] \wedge [/mm] b|c, dann folgt ab|c |
Hallo! Ich finde den Beweis nicht und habe auch gar keine Idee, wie ich da ran gehen soll.
Ich weiß folgendes:
Voraussetzung:
ggT(a,b)=1 -> 1|a und 1|b
a|c d.h. [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IZ: [/mm] a*x=c
b|c d.h. [mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ: [/mm] b*y=c
Behauptung:
a*b|c d.h. [mm] \exists [/mm] z [mm] \in \IZ: [/mm] a*b*z=c
Beweis:
hier komme ich leider nicht weiter. ich denke, dass der ggT eine große Rolle spielt, weil a und b relativ prim sind.
Für Tipps bin ich euch sehr dankbar! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
a*x=c x ganz
daraus a*x/b=c/b=z ganz wegen b|c was kannst du daraus für x schließen? mit ggT(ab)=1
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 30.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
a*x=c x /in Z
daraus a*x/b=c/b=z ganz wegen b|c was kannst du daraus für x schließen? mit ggT(ab)=1
Ich verstehe nicht wie du auf z kommst :(
weil beides c teilt kann ich ja schreiben:
a*x=b*y /b
(ax)/b=y
y=c/b
a*x=c
z=c/(a*b)
ich habe es eben mal an einem Beispiel ausprobiert
Wenn der gemeinsame Teiler von a und b nur eins ist und a=7 und b=8 dann kann c nur 56 sein...also muss a=y und b=x sein während c=a*b ist. und z kann nur 1 sein weil die Behauptung sonst nicht stimmt.
Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Fr 30.05.2014 | | Autor: | hippias |
Versuche es sonst so: Aufgrund der Teilerfremdheit gibt es [mm] $r,s\in \IZ$ [/mm] mit $1= ra+sb$. Dann ist $c= cra+csb$. Ich behaupte, dass Du auf der rechten Seite $ab$ aufgrund einer Voraussetzung ausklammern kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Ich kann mir 1= ra+sb nicht vorstellen: wenn ich bei meinem Beispiel bleibe mit:
a=7 und b=8 und c =56 wäre 1=7r+8s und r müsste -1 und s=1 sein. Warum gibt es diese Zahlen aufgrund der Teilerfremdheit? Nur durch zufälliges Beispiel ist es ja jetzt -1 und 1 :(
Ich habe es trotzdem mal versucht einzusetzen und komme auf
c=c*r*(c/x) + c*s*(c/y)
Das einzige was ich daraus schließen kann ist, dass beide Summanden kleiner sein müssen als c, damit die addiert c ergeben.
Ich bin ratlos :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 31.05.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Ich kann mir 1= ra+sb nicht vorstellen: wenn ich bei meinem
> Beispiel bleibe mit:
> a=7 und b=8 und c =56 wäre 1=7r+8s und r müsste -1 und
> s=1 sein. Warum gibt es diese Zahlen aufgrund der
> Teilerfremdheit? Nur durch zufälliges Beispiel ist es ja
> jetzt -1 und 1 :(
Das Du nicht wissen willst, dass es stets [mm] $r,s\in \IZ$ [/mm] gibt, so dass $ggT(a,b)= ra+sb$ gilt, erscheint mir doch ziemlich zweifelhaft: schliesslich stammt diese Frage ![[]](/images/popup.gif) https://www.vorhilfe.de/read?t=1023571 doch wohl von Dir selbst. Darin geht es genau um diese Darstellung, nur mit drei statt zwei Zahlen.
> Ich habe es trotzdem mal versucht einzusetzen und komme
> auf
> c=c*r*(c/x) + c*s*(c/y)
> Das einzige was ich daraus schließen kann ist, dass beide
> Summanden kleiner sein müssen als c, damit die addiert c
> ergeben.
Ich habe dich gebeten aus $cra+csb$ die Zahl $ab$ auszuklammern. Was obiges damit zu tun hat, kann ich wirklich nicht verstehen.
> Ich bin ratlos :(
Ebenso auf meiner Seite. Wie habt ihr denn den ggT definiert? Kennst Du den Satz ueber die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung? Euklidischer Algorithmus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Tut mir Leid...ich habe länger an "Lösung?" geschrieben und in der Zwischenzeit hast du mir geantwortet.
Das Du nicht wissen willst, dass es stets $ [mm] r,s\in \IZ [/mm] $ gibt, so dass $ ggT(a,b)= ra+sb $ gilt, erscheint mir doch ziemlich zweifelhaft: schliesslich stammt diese Frage []https://www.vorhilfe.de/read?t=1023571 doch wohl von Dir selbst. Darin geht es genau um diese Darstellung, nur mit drei statt zwei Zahlen.
Jetzt verstehe ich den Zusammenhang. Ich möchte dich/euch nicht dadurch verärgern aber mir ist leider vieles in der Mathematik nicht logisch aber ich versuche es zu verstehen und bemühe mich auch!
Wie habt ihr denn den ggT definiert? Kennst Du den Satz ueber die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung? Euklidischer Algorithmus?
Primfaktorzerlegung haben wir nicht gemacht und den Euklidischen Algorithmus nur mit diesem Schema angewendet. Ich habe mir ein Video dazu angesehen wo er mit der Formel : a=q*b+r definiert wurde.
Ich habe dich gebeten aus $ cra+csb $ die Zahl $ ab $ auszuklammern.
Ich weiß nicht auf Grund welcher Voraussetzung ich das ausklammern kann.
Meinst du das so:
c*((ra)+(sb))=1 ?
Ich wüsste nur nicht wie ich weitermachen sollte. Wenn ich für a und b c/x oder c/y einsetze komme ich auch nicht weiter...
Tut mir leid,ich mache das echt nicht mit Absicht...ich sehe einfach nicht wie ich es beweisen soll :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 31.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vors a|c und b|c
Quelltext $ cra+csb =ab*(c/b*r+c/a*s$ wegen c/b=y c/a=x x,y ganz
c=a*b*(y*r+x*s) die Klammer ist ganz.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Viele Dank! Ich wäre nie alleine darauf gekommen, dass ich a und b multipliziere kann und dann b bzw. a und der Klammer dividieren muss, damit die Gleichung noch stimmt!
(yr+xy) ist damit mein z und damit ist die Gleichung bewiesen.
Vielen Dank für die Geduld! Ich versuche auch nochmal es mit der anderen Beweisidee zu beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Ich hab es jetzt nochmal ein bisschen anders versucht:
Leider sehe ich auf meinem Schmierblatt nicht mehr durch...
jedoch bin ich schließlich auf:
c=x*y gekommen
weil c laut Voraussetzung b*y ist, weiß ich, dass b gleich x ist und daraus folgt, dass a=y ist.
und : a*x=b*y
a*b*z=c
z=c:(ab)
d.h.:zb=x, da b=x ergibt dass 1, wenn ich b durch x teile. z=1 (der ggT)
Stimmt das so und kann mir einer vielleicht sagen, wie ich auf c=x*y komme?
Ich wundere mich ein bisschen, dass bei der Lösung der ggT keine große Rolle spielt weil das eigentlich das Thema der Serie ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 31.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
b=x ist falsch siehe meinen älteren post x=k*b
du verwechsels ab|c mit a*b=c
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Danke! Ich hatte da einen Denkfehler drin!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Sa 31.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Beispiel stimmt nicht. mit a=7 b=8 kann c auch 56*7 oder [mm] 56*2^n [/mm] oder [mm] 56*2^n*7^k*13^m [/mm] usw sein.
aber du hattest doch
a*x/b=c/b c/b=z bzw y ganz
ggt(a,b) ist 1, d.h.x/b muß ganz sein d,h. x ist durch b teilbar x=n*b
d,j. a*x=a*n*b=c
aber den euklidischen algotithmus 1=k*a+r*b alle ganz musst du eigentlich kennen und damit den anderen Beweisvorschlag verstehen.
Gruß leduart
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